Die Vermutung, daß folgende Gleichung
xn+yn=zn (01)
nicht für positive ganze Zahlen n>2, x, y und z gelten soll, ist mittlerweile bewiesen. Jedoch ist dieser Beweis mit Methoden geführt worden, die erst in neuerer Zeit entstanden sind.
Für n=4 war schon ein Beweis bekannt, so daß nur noch ungerade Potenzen zu betrachten sind.
Zunächst müssen die besonderen Eigenschaften der in (01) enthaltenen Zahlen festgestellt werden.
Die zu untersuchenden Potenzen n kann man auf Primzahlen beschränken, weil xnm=(xn)m
Weiterhin haben x, y und z keine gemeinsamen Teiler, weil etwa vorhandene gemeinsame Teiler in (01) herausgekürzt werden können. Die Zahlen x, y und z sind deshalb teilerfremd.
Die Teilbarkeitsbeziehungen sind der wesentliche Schlüssel zur Erklärung der Vermutung.
Es kann mit Hilfe des kleinen fermatschen Satzes gezeigt werden, daß trotz der gegenseitigen Teilerfremdheit ein aus den Zahlen x, y oder z entnommener Primfaktor auch in den anderen Zahlen als Faktor enthalten sein muß.
Nach dem kleinen fermatschen Satz gilt:
xn Ξ x mod(n) (02)
yn Ξ y mod(n) (03)
zn Ξ z mod(n) (04)
oder
xn = K*n +x (05)
yn = L*n +y (06)
zn = M*n+z (07).
Addiert man die Gleichungen 05, 06 und 07, so ergibt sich
x+y-z Ξ 0 mod(n). (08)
Daraus folgt, wenn eine der Zahlen x,y oder z durch n teilbar sein sollte, muß eine andere Zahl ebenfalls teilbar sein, was der oben festgestellten Teilerfremdheit widerspricht.
Z.B sei z Ξ 0 mod(n), so folgt
y=Rn -x (09)
yn = (Rn)n -n(Rn)n -1x+ ...+nRnxn -1 -xn =zn-xn (10)
zn = (Rn)n -n(Rn)n -1x+ ...+nRnxn -1 (10a)
Weil
In Gleichung (10a) ist Rn in allen Potenzen vorhanden.
Daher muß der letzte Summand in dieser Gleichung durch n3
teilbar sein.
nRnxn -1 Ξ 0 mod(n3) (10b)
Wegen der Potenzen von Rn in Gleichung (10a) folgt
nRnxn -1 Ξ 0 mod(nn) (10c)
oder
nRnxn Ξ x mod(nn) (10d)
Aus Gleichung (09) folgt ebenso
nRnyn Ξ y mod(nn) (10e)
Addiert man Gleichung (10d) und (10e), so folgt
nRn(xn+yn) Ξ (x+y) mod(nn) (10f)
wegen x+y=Rn und Gleichung (01) folgt
nzn Ξ 0 mod(nn) (10g)
Dies ist ein Widerspruch für die Potenzen von n.
Z kann somit nicht n als Faktor enthalten.
Deswegen und wegen Gleichung (08) ist es nicht möglich, daß alle drei Zahlen x, y und z die gleichen Teilbarkeitsreste zu n haben.
Es läßt sich daher mindestens ein Primfaktor f aus diesen Zahlen finden, für den nicht f Ξ 1 mod(n) gilt.
Sei f ein Primfaktor aus y, so ergibt sich:
zf -1 - xf -1 Ξ 0 mod(f) (11)
Wegen Gleichung (01) gilt aber auch
zn - xn Ξ 0 mod(f) (12).
Weil aber nicht f Ξ 1 mod(n) gilt, so folgt
z - x Ξ 0 oder z= Sf + x (13).
Daraus folgt wiederum:
zn = (Sf)n +n(Sf)n -1x+ ...+nSfxn -1 +xn =yn+xn (14)
yn = (Sf)n +n(Sf)n -1x+ ...+nSfxn -1 +2xn (14a)
In Gleichung (14a) kann man erkennen, daß auch x durch f teilbar sein muß, was obigen Annahmen widerspricht.
Mit Ganzen Zahlen ist also Gleichung (01) nicht lösbar.
W.
Lenz